Matemáticas 1º ESO Proyecto Adarve
Unidad 3. Divisibilidad
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3.9.1.

Obtención del máximo común divisor

Como vimos, un número, para ser divisor de otro, solo puede contener sus factores primos. Así, para ser divisor de dos números, debe contener los factores primos comunes a ambos. Veamos un ejemplo:

Descomponemos en factores primos 36 y 60.

El M.C.D. de ambos tiene que contener todos los factores primos comunes, así para hallar el M.C.D., se multiplican los factores comunes elevados al menor exponente con el que aparecen en las dos descomposiciones:

M.C.D. (36, 60) = 22 · 3 = 12

  Definiciones

Para obtener el máximo común divisor de dos o más números, se procede de la siguiente manera:

1. Se descomponen los números en factores primos.

2. Se multiplican los factores que tienen en común, elevando cada uno al menor exponente con el que aparece en las descomposiciones.

  EJERCICIOS RESUELTOS

10 Halla el máximo común divisor de 24, 48 y 56.

1. Descomponemos en factores primos:

24 = 23 · 3      48 = 24 · 3      56 = 23 · 7

2. El único factor que tienen en común es el 2 y el menor exponente con el que aparece es 3. De este modo:

M.C.D. (24, 48, 56) = 23 = 8

Actividades

Pinche sobre un título para realizar una actividad.

  • 1 Actividad planteada

    Halla todos los divisores de los siguientes números y obtén su máximo común divisor:

    a) 3 y 6         d) 12, 18 y 30     
    b) 18 y 25     e) 12 y 42
    c) 8 y 20        f) 20, 30 y 90

  • 2 Actividad planteada

    Calcula un divisor común de estos números:

    a) 8 y 20         b) 30 y 50         c)  15 y 18

  • 3 Actividad de resultado cerrado
  • 4 Actividad de resultado cerrado
  • 5 Actividad planteada

    Escribe todos los divisores de estos números y averigua su máximo común divisor. A continuación, vuelve a obtenerlo a partir de la descomposición en factores primos y comprueba que llegas al mismo resultado.

    a) 12 y 30         b) 18 y 45         c) 16 y 40

  • 6 Actividad de resultado cerrado
  • 7 Actividad de resultado cerrado
  • 8 Actividad planteada

    Calcula  el  mínimo  común  múltiplo  y  el  máximo común divisor de los siguientes números:

    a) 9 y 12           c) 8 y 15               e) 140 y 300
    b) 18 y 42         d) 108 y 630         f) 693 y 1 485

  • 9 Actividad de resultado cerrado
  • 10 Actividad planteada

    Dos  números  son  primos  entres  sí;  ¿cuál  es  su M.C.M y su M.C.D.?

  • 11 Actividad planteada

    ¿Se te ocurre alguna forma rápida de averiguar el máximo  común  divisor  de  dos  números  a  partir  de  los divisores del menor de ellos?

  • 12 Actividad de resultado cerrado
  • 13 Actividad de resultado cerrado
  • 14 Actividad planteada

    Maite tiene 30 caramelos de fresa y 45 de menta. Los quiere empaquetar en bolsas, de manera que todas tengan la misma composición. Si quiere preparar el mayor número de bolsas sin que le sobre ningún caramelo:

    a) ¿Cuántas bolsas obtendrá?
    b) ¿Qué composición tendrá cada bolsa?

  • 15 Actividad planteada

    Calcula  el  máximo  común  divisor  de  m  y  n,  sin  averiguar el valor numérico de cada uno:

    a)  m = 23 x 3             y     n = 2 x 32 x 5
    b)  m = 23 x 3 x 52     y     n = 22 x 32
    c)  m = 3 x 5              y     n = 2 x 7
    d)  m = 3 x 5 x 72      y     n = 2 x 52 x 7

  • 16 Actividad planteada

    Observa la descomposición factorial de los números a, b, c y d y contesta:

    a = 2 x 32         b = 2 x 3         c = 5 x 7         d = 2 x 32 x 7

    a) ¿Es b el M.C.D de a y c?
    b) ¿Cuáles son primos entre sí?

3.9. Divisores comunes y máximo común divisor (M.C.D.)
3.10. Ejercicios y problemas

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Glosario
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compuesto
todo aquel número que tiene más de dos divisores.
descomposición factorial
Expresar un número como un producto de sus factores primos.
divisor
Un número natural, b, es divisor de otro, a, cuando la división a : b es exacta. a : b = c. b es divisor de a
máximo común divisor
Es el mayor de los divisores que tienen en común dos o más números. Se expresa como M.C.D. (a, b, c,…).
mínimo común múltiplo
Es el menor de los múltiplos que tienen en común dos o más números. Se expresa como m.c.m. (a, b, c, …).
múltiplo
Un número natural, a, es múltiplo de otro, b, si al multiplicar b por un número natural, se obtiene a como resultado. b : c = a. a es múltiplo de b
primo
Todo aquel número que solo tiene dos divisores: el 1 y él mismo.
relación de divisibilidad
Hay relación de divisibilidad entre dos números naturales, a y b, cuando el mayor, a, contiene al menor, b, una cantidad exacta de veces. Entonces se dice que a es divisible por b.

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Cada unidad está estructurada en cinco partes:

  • Una página de presentación de la unidad.
  • Varias páginas de desarrollo.
  • Una página para describir con detalle un procedimiento.
  • Una página de ideas claras.
  • Una doble página de actividades.

Detalle

Presentación

La unidad comienza con una ilustración relacionada con los contenidos que vas a estudiar. Intenta contestar las cuestiones que se plantean y podrás valorar tus conocimientos previos sobre dichos contenidos.

Desarrollo

Aquí se exponen los contenidos esenciales y se proponen actividades para que apliques tus conocimientos. Además, en los márgenes dispones de curiosidades científicas, vocabulario, datos para recordar… Encontrarás contenidos importantes resaltados con un fondo de color, así como actividades para reflexionar y avanzar en tu aprendizaje (Piensa y deduce y Experimenta).

Procedimientos

Descubrirás interesantes métodos y procedimientos para estudiar tu entorno y los fenómenos naturales que tienen lugar en él. Con las Actividades pondrás en práctica lo aprendido.

Ideas claras

En esta página se resumen los contenidos fundamentales de la unidad. Léela después de las páginas de desarrollo y repásala con frecuencia para mantener frescas las ideas principales.

Actividades

Aquí encontrarás actividades para repasar los conocimientos que has adquirido y para ampliar algunos aspectos tratados en el desarrollo de la unidad. En cada una se indica su nivel de dificultad: baja, media y alta.

Evaluación de competencias

Las unidades se agrupan en bloques temáticos y se incluye una Evaluación de competencias en cada uno de ellos. Con estas actividades comprobarás tu competencia para aplicar los conocimientos adquiridos en situaciones que reflejan el mundo real.

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