Matemáticas 1º ESO Proyecto Adarve
Unidad 3. Divisibilidad
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3.7.

Descomposición factorial de un número

Observa estas diferencias entre 18, que es un número compuesto, y 17, que es un número primo.

Usando los divisores del 18, podemos expresarlo como un producto de dos números. Tenemos varias posibilidades:



D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}  18 = 1 · 18 18 = 2 · 9 18 = 3 · 6

En el caso del 17 hay una única forma de expresarlo como un producto:



D(17) = {1, 17} 17 = 17 · 1

  Piensa y deduce

¿De qué depende que un número se pueda expresar como un producto en el que no se utilice el propio número?

Los números compuestos, como 18, se pueden expresar en forma de producto sin utilizar el propio número como factor de la multiplicación. Se dice que se pueden descomponer en factores.

Sin embargo, los números primos, como el 17, solo se pueden expresar en forma de producto utilizando el propio número como factor de la multiplicación.

  Piensa y deduce

Vamos a descomponer en factores el número 90:

a) Al llegar a 90 = 3 · 3 · 5 · 2, ¿puedes seguir descomponiendo en más factores? ¿Por qué?

b) Haz la descomposición partiendo de 90 = 2 · 45. ¿Obtienes el mismo resultado?

  Definiciones

Factorizar un número es descomponerlo en producto de factores primos. Esta descomposición es única para cada número.

Para factorizar un número, se divide sucesivamente entre factores primos hasta que el cociente es 1.

Por tanto, 90 = 2 · 45 = 2 · 3 · 15 = 2 · 3 · 3 · 5 = 2 · 32 · 5
Habitualmente, el procedimiento anterior se escribe así:

  90 = 2 · 3 · 3 · 5 = 2 " 32 · 5

Consideramos la descomposición en factores primos de 12:

12 = 2 · 2 · 3

Observa que ocurre con sus múltiplos y con sus divisores:

Múltiplos Divisores D(12)={1, 2, 3, 4, 6,12}
24=12 · 2=(2 · 2 · 3) · 2 2=2 (factor de 2 · 2 · 3)
36=12 · 3=(2 · 2 · 3) · 3 3=3 (factor de 2 · 2 · 3 )
48=12 · 4=(2 · 2 · 3) · 2 · 2 4=2 · 2 (factor de 2 · 2 · 3 )
… 6=2 · 3 (factor de 2 · 2 · 3 )
Cualquier múltiplo de 12 contiene todos los factores primos de 12. Cualquier divisor de 12 mayor que 1 contiene solo factores primos de 12.

 

  Definiciones

· Un número, para ser múltiplo de otro, tiene que contener todos sus factores.

· Un número, para ser divisor de otro, solo puede contener factores primos de este.

  EJERCICIOS RESUELTOS

6 La descomposición factorial de un número es 2 · 2 · 3 · 5. Escribe tres múltiplos y cinco divisores suyos.


Múltiplos: (2 · 2 · 3 · 5) · 2 = 120, (2 · 2 · 3 · 5) · 3 = 180, (2 · 2 · 3 · 5) · 7 = 420
Divisores: 2, 3, 5, 2 · 3 = 6, 2 · 5 = 10

Actividades

Pinche sobre un título para realizar una actividad.

  • 1 Actividad planteada

    Escribe los números indicados como un producto que contenga los factores que se indican:

    a) 144 en dos factores.
    b) 90 en cuatro factores.
    c) 27 en tres factores.
    d) 60 en tres factores.

  • 2 Actividad planteada

     Descompón los siguientes números en dos factores,  luego  en  tres,  y  así  sucesivamente,  hasta  obtener todos los factores primos:

    a) 24     b) 60     c)  260     d) 450

  • 3 Actividad planteada

     Descompón en factores primos:

    a) 18     e)  108     i)  675        m) 1 530
    b) 20     f)  130     j)  1 100     n) 2 457
    c) 36     g) 252     k) 900        ñ) 14 000
    d) 70     h) 660     l)  2 184     o) 13 860

  • 4 Actividad planteada

     Descompón en factores primos estos números:

    a) 6       d) 8       g) 9       j) 12
    b) 15     e) 21     h) 24     k) 27
    c) 28     f) 30      i) 50      l) 66

  • 5 Actividad planteada

     Factoriza los números 12 y 90. ¿Qué factores tienen en común?

  • 6 Actividad de verdadero o falso
  • 7 Actividad de verdadero o falso
  • 8 Actividad planteada

     Escribe tres múltiplos y tres divisores del siguiente número:

    2 x 32 x 5

  • 9 Actividad planteada

    Sin  hacer  ninguna  operación,  averigua  si  el número n es divisor de m. Razónalo.

    a) m = 2 x 2 x 3 x 5
         n = 2 x 3

    b) m = 23 x 32 x 7
         n = 24 x 32

    c) m = 2 x 2 x 3 x 3 x 7
         n = 2 x 2 x 2

    d) m = 22 x 33 x 5
         n = 2 x 32

  • 10 Actividad planteada

    Sin  hacer  ninguna  operación  averigua  si  m  es múltiplo de n. Razona tus respuestas.

    a) m = 22 x 2 x 2 x 5
         n = 2 x 5

    b) m = 22 x 33 x 7
         n = 2 x 32

    c) m = 22 x 2 x 2 x 3 x 7
         n = 2 x 2 x 11

    d) m = 22 x 33 x 5
         n = 23 x32

3.6. Números primos y compuestos
3.8. Múltiplos comunes y mínimo común múltiplo (m.c.m.)

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Glosario
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compuesto
todo aquel número que tiene más de dos divisores.
descomposición factorial
Expresar un número como un producto de sus factores primos.
divisor
Un número natural, b, es divisor de otro, a, cuando la división a : b es exacta. a : b = c. b es divisor de a
máximo común divisor
Es el mayor de los divisores que tienen en común dos o más números. Se expresa como M.C.D. (a, b, c,…).
mínimo común múltiplo
Es el menor de los múltiplos que tienen en común dos o más números. Se expresa como m.c.m. (a, b, c, …).
múltiplo
Un número natural, a, es múltiplo de otro, b, si al multiplicar b por un número natural, se obtiene a como resultado. b : c = a. a es múltiplo de b
primo
Todo aquel número que solo tiene dos divisores: el 1 y él mismo.
relación de divisibilidad
Hay relación de divisibilidad entre dos números naturales, a y b, cuando el mayor, a, contiene al menor, b, una cantidad exacta de veces. Entonces se dice que a es divisible por b.

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Anexos

Material complementario

Enlaces
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Cada unidad está estructurada en cinco partes:

  • Una página de presentación de la unidad.
  • Varias páginas de desarrollo.
  • Una página para describir con detalle un procedimiento.
  • Una página de ideas claras.
  • Una doble página de actividades.

Detalle

Presentación

La unidad comienza con una ilustración relacionada con los contenidos que vas a estudiar. Intenta contestar las cuestiones que se plantean y podrás valorar tus conocimientos previos sobre dichos contenidos.

Desarrollo

Aquí se exponen los contenidos esenciales y se proponen actividades para que apliques tus conocimientos. Además, en los márgenes dispones de curiosidades científicas, vocabulario, datos para recordar… Encontrarás contenidos importantes resaltados con un fondo de color, así como actividades para reflexionar y avanzar en tu aprendizaje (Piensa y deduce y Experimenta).

Procedimientos

Descubrirás interesantes métodos y procedimientos para estudiar tu entorno y los fenómenos naturales que tienen lugar en él. Con las Actividades pondrás en práctica lo aprendido.

Ideas claras

En esta página se resumen los contenidos fundamentales de la unidad. Léela después de las páginas de desarrollo y repásala con frecuencia para mantener frescas las ideas principales.

Actividades

Aquí encontrarás actividades para repasar los conocimientos que has adquirido y para ampliar algunos aspectos tratados en el desarrollo de la unidad. En cada una se indica su nivel de dificultad: baja, media y alta.

Evaluación de competencias

Las unidades se agrupan en bloques temáticos y se incluye una Evaluación de competencias en cada uno de ellos. Con estas actividades comprobarás tu competencia para aplicar los conocimientos adquiridos en situaciones que reflejan el mundo real.

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