Matemáticas 1º ESO Proyecto Adarve
Unidad 3. Divisibilidad
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3.8.1.

Obtención del mínimo común múltiplo

Como vimos, para que un número sea múltiplo de otro, tiene que contener todos sus factores primos. Por tanto, para que sea múltiplo de dos números, debe de contener todos los factores primos de ambos números. Veamos un ejemplo, descomponemos en factores primos 32 y 12:
 

32=2 · 2 · 2 · 2 · 2 =25
12=2 · 2 · 3=22 · 3

El m.c.m. de 12 y 32 tiene que contener todos los factores primos de ambos el menor número de veces posible (25, 22 y 3, pero 22 ya está contenido en 25):


Observa que para obtener el m.c.m., se multiplican los factores primos comunes y no comunes que aparecen en las dos descomposiciones elevados al mayor exponente.

m.c.m. (12, 32)=25 · 3=96

  Definiciones

Para obtener el mínimo común múltiplo de dos o más números, se procede de la siguiente manera:

1. Se descomponen los números en factores primos.

2. Se multiplican todos los factores que aparecen en las descomposiciones, elevando cada uno al mayor exponente con el que figuran en ellas.

  EJERCICIOS RESUELTOS

8 Halla el mínimo común múltiplo de 10, 12 y 75.


1. Descomponemos en factores primos:

10= 2 · 5    12=22 · 3    75 = 3 · 52


2. Factores que aparecen: 2, 3 y 5. Los multiplicamos elevados al mayor exponente con el que aparecen:

m.c.m. (10, 12, 75) = 22 · 3 · 52 = 300

Actividades

Pinche sobre un título para realizar una actividad.

  • 1 Actividad planteada

    Averigua los tres primeros múltiplos que tienen en común:

    a) 3 y 9
    b) 2 y 5
    c) 12 y 18
    d) 2, 3 y 4
    e) 1, 3 y 6
    f) 3, 6 y 9

  • 2 Actividad planteada

    Escribe los primeros múltiplos de los números dados hasta encontrar su mínimo común múltiplo.

    a) 3 y 6

    b) 6 y 8

    c) 2 y 9

    d) 4 y 10

    e) 15 y 20

    f) 2, 5 y 6

  • 3 Actividad planteada

    Calcula:

    a) m.c.m. (2, 4)

    b) m.c.m. (2, 6)

    c) m.c.m. (8, 12)

    d) m.c.m. (3, 9)

    e) m.c.m. (5, 6)

    f) m.c.m. (4, 6)

  • 4 Actividad planteada

    Escribe los primeros múltiplos de los siguientes números hasta averiguar cuál es su mínimo común múltiplo. Vuelve a obtenerlo después, a partir de la descomposición en factores primos y comprueba que consigues el mismo resultado.

    a) 8 y 12

    b) 15 y 20

    c) 4 y 18

  • 5 Actividad planteada

    Obtén, usando la factorización de los números:

    a) m.c.m. (4, 18)

    b) m.c.m. (10, 198)

    c) m.c.m. (45, 54)

    d) m.c.m. (30, 72)

    e) m.c.m. (365, 600)

    f) m.c.m. (315, 1 845)

  • 6 Actividad planteada

    Averigua:

    a) m.c.m. (2, 6, 9)
    b) m.c.m. (4, 6, 12)
    c) m.c.m. (12, 18, 24)
    d) m.c.m. (6, 15, 18)
    e) m.c.m. (3, 5, 15)
    f) m.c.m. (2, 20, 30)
    h) m.c.m (4, 6, 21, 27)
    g) m.c.m. (35, 45, 150)

  • 7 Actividad planteada

    Calcula el mínimo común múltiplo de m y n, sin averiguar el valor numérico de cada uno:

    a) m = 23 · 3 y n = 2 · 32 · 5

    b) m = 23 · 3 · 52 y n = 22 · 32

    c) m = 3 · 5 y n = 2 · 7

    d)     m = 3 · 5 · 72 y n = 2 · 52 · 7

  • 8 Actividad planteada

    En una carrera de 50 km hay un puesto de agua cada 4 km y un control de los corredores cada 3 km. ¿En qué puntos kilométricos coincidirán el puesto de agua y el control?

  • 9 Actividad de resultado cerrado
  • 10 Actividad de resultado cerrado
  • 11 Actividad de resultado cerrado
  • 12 Actividad de resultado cerrado
  • 13 Actividad de resultado cerrado
  • 14 Actividad de resultado cerrado
  • 15 Actividad planteada

    Indica cuál es el mínimo común múltiplo de dos números que cumplen la condición dada:

    a) Uno es múltiplo del otro.
    b) Ambos números carecen de divisores primos en común.
    c) Uno de los dos números es 1.

  • 16 Actividad planteada

    ¿Se puede asegurar que dados dos, o más números, siempre tienen múltiplos en común?

3.8. Múltiplos comunes y mínimo común múltiplo (m.c.m.)
3.9. Divisores comunes y máximo común divisor (M.C.D.)

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Glosario
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compuesto
todo aquel número que tiene más de dos divisores.
descomposición factorial
Expresar un número como un producto de sus factores primos.
divisor
Un número natural, b, es divisor de otro, a, cuando la división a : b es exacta. a : b = c. b es divisor de a
máximo común divisor
Es el mayor de los divisores que tienen en común dos o más números. Se expresa como M.C.D. (a, b, c,…).
mínimo común múltiplo
Es el menor de los múltiplos que tienen en común dos o más números. Se expresa como m.c.m. (a, b, c, …).
múltiplo
Un número natural, a, es múltiplo de otro, b, si al multiplicar b por un número natural, se obtiene a como resultado. b : c = a. a es múltiplo de b
primo
Todo aquel número que solo tiene dos divisores: el 1 y él mismo.
relación de divisibilidad
Hay relación de divisibilidad entre dos números naturales, a y b, cuando el mayor, a, contiene al menor, b, una cantidad exacta de veces. Entonces se dice que a es divisible por b.

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Cada unidad está estructurada en cinco partes:

  • Una página de presentación de la unidad.
  • Varias páginas de desarrollo.
  • Una página para describir con detalle un procedimiento.
  • Una página de ideas claras.
  • Una doble página de actividades.

Detalle

Presentación

La unidad comienza con una ilustración relacionada con los contenidos que vas a estudiar. Intenta contestar las cuestiones que se plantean y podrás valorar tus conocimientos previos sobre dichos contenidos.

Desarrollo

Aquí se exponen los contenidos esenciales y se proponen actividades para que apliques tus conocimientos. Además, en los márgenes dispones de curiosidades científicas, vocabulario, datos para recordar… Encontrarás contenidos importantes resaltados con un fondo de color, así como actividades para reflexionar y avanzar en tu aprendizaje (Piensa y deduce y Experimenta).

Procedimientos

Descubrirás interesantes métodos y procedimientos para estudiar tu entorno y los fenómenos naturales que tienen lugar en él. Con las Actividades pondrás en práctica lo aprendido.

Ideas claras

En esta página se resumen los contenidos fundamentales de la unidad. Léela después de las páginas de desarrollo y repásala con frecuencia para mantener frescas las ideas principales.

Actividades

Aquí encontrarás actividades para repasar los conocimientos que has adquirido y para ampliar algunos aspectos tratados en el desarrollo de la unidad. En cada una se indica su nivel de dificultad: baja, media y alta.

Evaluación de competencias

Las unidades se agrupan en bloques temáticos y se incluye una Evaluación de competencias en cada uno de ellos. Con estas actividades comprobarás tu competencia para aplicar los conocimientos adquiridos en situaciones que reflejan el mundo real.

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